Nắm vững lý thuyết vectơ trong không gian
Problem:
Vectơ trong không gian
1. Định nghĩa
Vectơ trong không gian là đoạn thẳng có hướng. Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) có điểm đầu \(A\), điểm cuối \(B\).
Vectơ-không \(\vec{0}\) có độ dài bằng 0, hướng tùy ý.
2. Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài:
\[\vec{a} = \vec{b}\]
3. Các phép toán với vectơ
Tổng hai vectơ: Quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc ba điểm:
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\]
Hiệu hai vectơ:
\[\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\]
Tích vectơ với số thực \(k\):
- \(k\vec{a}\) cùng hướng với \(\vec{a}\) nếu \(k > 0\), ngược hướng nếu \(k < 0\).
- \(|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|\)
4. Điều kiện hai vectơ cùng phương
Hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) (\(\vec{b} \neq \vec{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực \(k\) sao cho:
\[\vec{a} = k\vec{b}\]
5. Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng
Nếu \(\vec{a},\, \vec{b},\, \vec{c}\) là ba vectơ không đồng phẳng thì mọi vectơ \(\vec{v}\) trong không gian đều phân tích được một cách duy nhất:
\[\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}\]
6. Tọa độ vectơ trong không gian
Trong hệ tọa độ \(Oxyz\) với ba vectơ đơn vị \(\vec{i},\, \vec{j},\, \vec{k}\):
\[\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} = (x,\, y,\, z)\]
Các phép tính tọa độ:
- \(\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\, a_2 + b_2,\, a_3 + b_3)\)
- \(k\vec{a} = (ka_1,\, ka_2,\, ka_3)\)
- \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)
Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) với \(A(x_A, y_A, z_A)\), \(B(x_B, y_B, z_B)\):
\[\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\, y_B - y_A,\, z_B - z_A)\]