Giải thích cơ sở toán học tính khoảng cách trên bề mặt Trái Đất

Trái Đất được xem xấp xỉ là một hình cầu tâm O, bán kính \(R \approx 6371\) km. Hai vị trí P (\(10^oN\), \(15^oE\)) và Q (\(80^oN\), \(70^oE\)) đều nằm trên mặt cầu đó. Qua O, P, Q xác định được một mặt phẳng, cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn có tâm O đi qua P và Q. Khoảng cách trên bề mặt Trái Đất từ P đến Q là độ dài cung nhỏ PQ của đường tròn lớn này — đây cũng chính là đường đi ngắn nhất trên bề mặt Trái Đất từ P đến Q. Góc ở tâm \(\widehat{POQ}\) được tính từ vĩ độ và kinh độ của P, Q thông qua công thức tích vô hướng: \[ \cos\widehat{POQ} = \frac{\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|} \] Sau khi có góc \(\widehat{POQ} = \alpha\) (radian), khoảng cách cần tính là: \[ d = R \cdot \alpha \] Đây là cơ sở toán học mà phần mềm như Google Maps sử dụng để tính khoảng cách giữa hai điểm trên bề mặt Trái Đất khi biết tọa độ địa lý (vĩ độ, kinh độ) của chúng.