Vì \(SM = 2AM\) và M nằm trên SA, ta có \(SA = SM + MA = 2AM + AM = 3AM\), suy ra \(AM = \frac{1}{3}SA\), tức \(\overrightarrow{MA} = \frac{1}{3}\overrightarrow{SA}\).
Vì \(CN = 2BN\) và N nằm trên BC, ta có \(BC = BN + NC = BN + 2BN = 3BN\), suy ra \(BN = \frac{1}{3}BC\), do đó \(CN = \frac{2}{3}BC\), tức \(\overrightarrow{CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CB}\).
Phân tích \(\overrightarrow{MN}\) theo đường gãy M → A → C → N:
\[\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN}\]
\[= \frac{1}{3}\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CB}\]
\[= \frac{1}{3}\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\]
\[= \frac{1}{3}\overrightarrow{SA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}\]
\[= \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BC}\right) + \overrightarrow{AB}\]
Điều này hoàn toàn đúng với đẳng thức cần chứng minh. (đpcm)
