Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Tính đạo hàm: \(y' = x^2 - 4x + 3\). Giải \(y' = 0\): \[x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array}\right.\] Bảng biến thiên: Kết luận: - Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; 1)\) và \((3; +\infty)\). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((1; 3)\). b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Tính đạo hàm: \(y' = -3x^2 + 4x - 5\). Xét dấu \(y'\): biến đổi \[-3x^2 + 4x - 5 = -3\left(x^2 - \frac{4}{3}x\right) - 5 = -3\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{11}{3}\] Vì \(-3\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 \leq 0\) với mọi \(x\) và \(-\frac{11}{3} < 0\), suy ra: \[y' = -3\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{11}{3} < 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}\] Kết luận: Hàm số \(y = -x^3 + 2x^2 - 5x + 3\) nghịch biến trên \((-\infty; +\infty)\).