Khái niệm tích phân – Diện tích hình thang cong

Xây dựng công thức diện tích hình thang cong: Bước 1 – Chia đoạn \([a, b]\): Chia \([a, b]\) thành \( n \) đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm: \[ a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b \] Mỗi đoạn nhỏ có độ dài \( \Delta x = \dfrac{b - a}{n} \). Bước 2 – Dựng hình chữ nhật xấp xỉ: Trên mỗi đoạn \([x_{i-1}, x_i]\), chọn điểm \( c_i \) bất kỳ thuộc đoạn đó. Dựng hình chữ nhật có chiều rộng \( \Delta x \) và chiều cao \( f(c_i) \). Diện tích hình chữ nhật thứ \( i \) là \( f(c_i) \cdot \Delta x \). Bước 3 – Tính tổng xấp xỉ: \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \cdot \frac{b - a}{n} \] Bước 4 – Lấy giới hạn: Khi \( n \to +\infty \), các hình chữ nhật nhỏ dần, tổng xấp xỉ tiến tới diện tích thực của hình thang cong: \[ S = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \cdot \frac{b - a}{n} \] Giới hạn này tồn tại và không phụ thuộc vào cách chọn điểm \( c_i \) khi \( f \) liên tục trên \([a, b]\). Giá trị giới hạn đó chính là tích phân xác định của \( f \) trên \([a, b]\), ký hiệu: \[ S = \int_{a}^{b} f(x)\, dx \]