Tính tích vô hướng trong tứ diện đều

Tam giác ACD có ba cạnh bằng a nên là tam giác đều. M là trung điểm CD nên AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao, do đó: \[AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] Tam giác BCD có ba cạnh bằng a nên cũng là tam giác đều. M là trung điểm CD nên: \[BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABM: \[\cos\widehat{BAM} = \frac{AM^2 + AB^2 - BM^2}{2 \cdot AB \cdot AM} = \frac{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + a^2 - \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2 \cdot a \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\] Tính tích vô hướng: \[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AM}| \cdot \cos\widehat{BAM} = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2}{2}\] Chọn B.