Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian nghe nhạc

Khoảng biến thiên: \(R = 7{,}5 - 5 = 2{,}5\). Cỡ mẫu: \(n = 2 + 8 + 15 + 10 + 5 = 40\). Xác định tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\): Cần tìm nhóm chứa giá trị thứ \(\frac{40}{4} = 10\) trong dãy đã sắp xếp. Tần số tích lũy: - Nhóm \([5; 5{,}5)\): 2 giá trị (tổng: 2) - Nhóm \([5{,}5; 6)\): 8 giá trị (tổng: 10) - Nhóm \([6; 6{,}5)\): 15 giá trị (tổng: 25) Giá trị thứ 10 rơi vào cuối nhóm \([5{,}5; 6)\), giá trị thứ 11 rơi vào nhóm \([6; 6{,}5)\). Vì \(Q_1 = \frac{x_{10} + x_{11}}{2}\) và \(x_{10} \in [5{,}5; 6)\), \(x_{11} \in [6; 6{,}5)\) nên: \[Q_1 = 6\] Xác định tứ phân vị thứ ba \(Q_3\): Cần nhóm chứa giá trị thứ \(\frac{3 \cdot 40}{4} = 30\). Tần số tích lũy đến nhóm \([6; 6{,}5)\) là \(2 + 8 + 15 = 25\). Giá trị thứ 30 rơi vào nhóm \([6{,}5; 7)\) (có 10 giá trị). Nội suy: \[Q_3 = 6{,}5 + \frac{30 - 25}{10} \cdot 0{,}5 = 6{,}5 + \frac{5}{10} \cdot 0{,}5 = 6{,}75\] Khoảng tứ phân vị: \[\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 6{,}75 - 6 = 0{,}75\] Tính độ lệch chuẩn: Chọn giá trị đại diện (trung điểm) cho mỗi nhóm: Số trung bình: \[\overline{x} = \frac{1}{40}\left(5{,}25 \cdot 2 + 5{,}75 \cdot 8 + 6{,}25 \cdot 15 + 6{,}75 \cdot 10 + 7{,}25 \cdot 5\right)\] \[= \frac{1}{40}\left(10{,}5 + 46 + 93{,}75 + 67{,}5 + 36{,}25\right) = \frac{254}{40} = 6{,}35\] Phương sai: \[s^2 = \frac{1}{40}\left(5{,}25^2 \cdot 2 + 5{,}75^2 \cdot 8 + 6{,}25^2 \cdot 15 + 6{,}75^2 \cdot 10 + 7{,}25^2 \cdot 5\right) - 6{,}35^2\] \[= \frac{1}{40}\left(55{,}125 + 264{,}5 + 585{,}9375 + 455{,}625 + 262{,}8125\right) - 40{,}3225\] \[= \frac{1624}{40} - 40{,}3225 = 40{,}6 - 40{,}3225 = 0{,}2775\] Độ lệch chuẩn: \[s = \sqrt{0{,}2775} = \frac{\sqrt{111}}{20} \approx 0{,}53\]