Gọi A là biến cố: "Vận động viên đạt huy chương vàng", B là biến cố: "Vận động viên thuộc đội I", \(\overline{B}\) là biến cố: "Vận động viên thuộc đội II".
Tổng số vận động viên: \(5 + 7 = 12\).
\(P(B) = \dfrac{5}{12};\quad P(\overline{B}) = \dfrac{7}{12};\quad P(A|B) = 0{,}65;\quad P(A|\overline{B}) = 0{,}55\)
a) Theo công thức xác suất toàn phần:
\[P(A) = P(B)\cdot P(A|B) + P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B}) = \frac{5}{12}\cdot 0{,}65 + \frac{7}{12}\cdot 0{,}55\]
\[P(A) = \frac{5\cdot 0{,}65 + 7\cdot 0{,}55}{12} = \frac{3{,}25 + 3{,}85}{12} = \frac{7{,}1}{12} = \frac{71}{120}\]
Vậy xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương vàng là \(\dfrac{71}{120}\).
b) Cần tính \(P(B|A)\). Theo công thức Bayes:
\[P(B|A) = \frac{P(B)\cdot P(A|B)}{P(A)} = \frac{\dfrac{5}{12}\cdot 0{,}65}{\dfrac{71}{120}} = \frac{\dfrac{5\cdot 0{,}65}{12}}{\dfrac{71}{120}} = \frac{5\cdot 0{,}65}{12}\cdot\frac{120}{71} = \frac{5\cdot 0{,}65\cdot 10}{71} = \frac{32{,}5}{71} = \frac{65}{142}\]
Vậy xác suất để vận động viên được chọn thuộc đội I, biết rằng người đó đạt huy chương vàng, là \(\dfrac{65}{142}\).
