Cho hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên \([a, b]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \( y = f(x) \), trục hoành \( Ox \) và hai đường thẳng \( x = a \), \( x = b \) được tính theo công thức:
\[ S = \int_{a}^{b} |f(x)|\,dx \]
Trường hợp 1: \( f(x) \geq 0 \) với mọi \( x \in [a, b] \)
Khi đó \( |f(x)| = f(x) \), nên:
\[ S = \int_{a}^{b} f(x)\,dx \]
Trường hợp 2: \( f(x) \leq 0 \) với mọi \( x \in [a, b] \)
Khi đó \( |f(x)| = -f(x) \), nên:
\[ S = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx \]
Trường hợp 3: \( f(x) \) đổi dấu trên \([a, b]\)
Giả sử \( f(x) \) có đúng một điểm \( c \in (a, b) \) mà \( f(c) = 0 \), với \( f(x) \geq 0 \) trên \([a, c]\) và \( f(x) \leq 0 \) trên \([c, b]\). Khi đó:
\[ S = \int_{a}^{c} f(x)\,dx + \left(-\int_{c}^{b} f(x)\,dx\right) = \int_{a}^{c} f(x)\,dx - \int_{c}^{b} f(x)\,dx \]
Tổng quát, nếu \( f(x) \) đổi dấu nhiều lần, chia đoạn \([a, b]\) thành các đoạn con tại mọi nghiệm của \( f(x) = 0 \) trong \((a, b)\), tính tích phân trên từng đoạn, lấy giá trị tuyệt đối của mỗi phần rồi cộng lại:
\[ S = \sum_{k} \left| \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)\,dx \right| \]
