Tối ưu hóa chi phí vật liệu làm bình hình trụ

Đề bài:

Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 \(cm^3\). Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/\(cm^2\), mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/\(cm^2\). Tìm bán kính đáy và chiều cao của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Bình hình trụ có dung tích 1000 \(cm^3\), hai đáy và mặt bên làm từ vật liệu có đơn giá khác nhau. Cần tìm bán kính đáy và chiều cao để tổng chi phí vật liệu đạt giá trị nhỏ nhất.

Kiến thức cần dùng

Diện tích hai đáy hình trụ: \(2\pi r^2\); diện tích mặt bên: \(2\pi r h\); thể tích hình trụ: \(V = \pi r^2 h\). Tìm cực trị hàm một biến bằng đạo hàm: tìm điểm tới hạn \(f'(x) = 0\), lập bảng biến thiên, kết luận cực tiểu.

Phương pháp giải

Có một cách giải chính. Dùng điều kiện thể tích \(\pi x^2 h = 1000\) để biểu diễn \(h\) theo \(x\), từ đó lập hàm chi phí \(T(x)\) chỉ theo một biến \(x\). Tính \(T'(x)\), giải \(T'(x) = 0\) để tìm điểm tới hạn, lập bảng biến thiên trên \((0; +\infty)\) để xác nhận đây là điểm cực tiểu toàn cục, rồi tính chiều cao tương ứng.

Ứng dụng thực tế

Khi em muốn mua một chiếc hộp đựng quà hình trụ với thể tích cố định nhưng muốn tiết kiệm chi phí vải bọc nhất có thể, em sẽ chọn tỉ lệ giữa đường kính và chiều cao như thế nào?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...