Tối ưu hóa chi phí vật liệu làm bình hình trụ

Gọi bán kính đáy của bình là \(x\) (cm), \(x > 0\). Từ điều kiện thể tích: \(\pi x^2 h = 1000\), suy ra chiều cao: \[h = \frac{1000}{\pi x^2} \text{ (cm)}.\] Chi phí sản xuất một chiếc bình: \[T(x) = 2 \cdot 1{,}2 \cdot \pi x^2 + 0{,}75 \cdot 2\pi x \cdot \frac{1000}{\pi x^2}\] \[= 2{,}4\pi x^2 + 0{,}75 \cdot \frac{2000}{x}\] \[= 2{,}4\pi x^2 + \frac{1500}{x} \text{ (nghìn đồng)}.\] Tính đạo hàm: \[T'(x) = 4{,}8\pi x - \frac{1500}{x^2}.\] Giải \(T'(x) = 0\): \[4{,}8\pi x = \frac{1500}{x^2} \Rightarrow x^3 = \frac{1500}{4{,}8\pi} = \frac{625}{2\pi} \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{625}{2\pi}}.\] Bảng biến thiên trên \((0; +\infty)\): Từ bảng biến thiên, \(T(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{\dfrac{625}{2\pi}}\). Chiều cao tương ứng: \[h = \frac{1000}{\pi \cdot \left(\sqrt[3]{\dfrac{625}{2\pi}}\right)^2} \text{ (cm)}.\] Vậy để chi phí vật liệu là nhỏ nhất, bán kính đáy của bình là \(\sqrt[3]{\dfrac{625}{2\pi}}\) cm và chiều cao là \(\dfrac{1000}{\pi \cdot \left(\sqrt[3]{\dfrac{625}{2\pi}}\right)^2}\) cm.