Biểu diễn vectơ AG và chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình hộp

a) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình bình hành, I là trung điểm của BD. Suy ra A'I là đường trung tuyến của tam giác A'BD từ đỉnh A'. G là trọng tâm tam giác A'BD nên: \[\overrightarrow{A'G} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A'I}\] Vì I là trung điểm BD: \[\overrightarrow{A'I} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'D}\right)\] Đổi về các vectơ cơ sở: \[\overrightarrow{A'B} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB}\] \[\overrightarrow{A'D} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD}\] Do đó: \[\overrightarrow{A'I} = \frac{1}{2}\left(-\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD}\right) = -\overrightarrow{AA'} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\] Suy ra: \[\overrightarrow{A'G} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A'I} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AA'} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\] Cuối cùng: \[\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'G} = \overrightarrow{AA'} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AA'} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\] \[\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\right)\] b) Theo quy tắc hình hộp: \[\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\] So sánh với kết quả câu a: \[\overrightarrow{AC'} = 3\overrightarrow{AG}\] Vì \(\overrightarrow{AC'} = 3\overrightarrow{AG}\), hai vectơ \(\overrightarrow{AC'}\) và \(\overrightarrow{AG}\) cùng phương và cùng điểm gốc A. Vậy ba điểm A, G và C' thẳng hàng.