Nắm vững lý thuyết nguyên hàm
Đề bài:
Lý thuyết Nguyên hàm
1. ĐỊNH NGHĨA
Hàm số \( F(x) \) được gọi là nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( (a; b) \) nếu \( F'(x) = f(x) \) với mọi \( x \in (a; b) \).
Ví dụ: \( F(x) = x^2 \) là nguyên hàm của \( f(x) = 2x \) vì \( (x^2)' = 2x \).
2. TÍNH CHẤT
- Nếu \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \) thì \( F(x) + C \) (với \( C \) là hằng số tùy ý) cũng là nguyên hàm của \( f(x) \).
- Mọi nguyên hàm của \( f(x) \) đều có dạng \( F(x) + C \).
- Họ tất cả các nguyên hàm của \( f(x) \) được ký hiệu là \( \int f(x)\,dx = F(x) + C \).
3. BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
\[ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \]
\[ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \]
\[ \int e^x\,dx = e^x + C \]
\[ \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0,\, a \neq 1) \]
\[ \int \sin x\,dx = -\cos x + C \]
\[ \int \cos x\,dx = \sin x + C \]
\[ \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C \]
\[ \int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x + C \]
4. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP LẤY NGUYÊN HÀM
\[ \int k f(x)\,dx = k \int f(x)\,dx \quad (k \neq 0) \]
\[ \int \left[f(x) \pm g(x)\right]dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx \]
5. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Nếu \( \int f(x)\,dx = F(x) + C \) thì:
\[ \int f(u) \cdot u'\,dx = F(u) + C \]
trong đó \( u = u(x) \) là hàm số có đạo hàm \( u' \).
6. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
\[ \int u\,dv = uv - \int v\,du \]