Chọn ba giá trị t để lấy ba điểm cụ thể:
Với \(t = 0\): \(M_1(1;\ 1;\ 1)\).
Với \(t = \dfrac{\pi}{2}\): \(M_2(-1;\ 1;\ 0)\).
Với \(t = \pi\): \(M_3(-1;\ -1;\ -1)\).
Tính hai vectơ:
\[\overrightarrow{M_1M_2} = (-2;\ 0;\ -1), \quad \overrightarrow{M_1M_3} = (-2;\ -2;\ -2).\]
Hai vectơ này không cùng phương (không tồn tại số k sao cho \(\overrightarrow{M_1M_3} = k\,\overrightarrow{M_1M_2}\) thỏa mãn cả ba thành phần), nên \(M_1, M_2, M_3\) không thẳng hàng và xác định một mặt phẳng duy nhất.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((M_1M_2M_3)\):
\[\vec{n} = [\overrightarrow{M_1M_2},\ \overrightarrow{M_1M_3}] = \left(\begin{vmatrix}0 & -1\\ -2 & -2\end{vmatrix};\quad \begin{vmatrix}-1 & -2\\ -2 & -2\end{vmatrix};\quad \begin{vmatrix}-2 & 0\\ -2 & -2\end{vmatrix}\right).\]
Tính từng thành phần:
\[n_1 = 0\cdot(-2) - (-1)\cdot(-2) = 0 - 2 = -2,\]
\[n_2 = (-1)\cdot(-2) - (-2)\cdot(-2) = 2 - 4 = -2,\]
\[n_3 = (-2)\cdot(-2) - 0\cdot(-2) = 4 - 0 = 4.\]
Vậy \(\vec{n} = (-2;\ -2;\ 4)\).
Phương trình mặt phẳng \((M_1M_2M_3)\) đi qua \(M_2(-1;\ 1;\ 0)\) với vectơ pháp tuyến \(\vec{n}(-2;\ -2;\ 4)\):
\[-2(x + 1) - 2(y - 1) + 4z = 0\]
\[\Leftrightarrow -2x - 2 - 2y + 2 + 4z = 0\]
\[\Leftrightarrow x + y - 2z = 0. \quad (1)\]
Kiểm tra điểm tổng quát \(M(\cos t - \sin t;\ \cos t + \sin t;\ \cos t)\) có thuộc mặt phẳng (1) không. Thay vào vế trái của (1):
\[(\cos t - \sin t) + (\cos t + \sin t) - 2\cos t = 2\cos t - 2\cos t = 0.\]
Đẳng thức \(0 = 0\) đúng với mọi t, nên \(M\) luôn thuộc mặt phẳng (1) với mọi t.
Vậy vật thể luôn chuyển động trong mặt phẳng cố định có phương trình \(x + y - 2z = 0\).
