Viết phương trình bốn mặt phẳng chứa tường phòng và tìm cặp vuông góc
Problem:
Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(2; 3; 0), \(C\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right)\). Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.
a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.
b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
a) Bốn bức tường vuông góc với sàn tương ứng với bốn cạnh OA, AB, BC, OC của tứ giác đáy.
Tường chứa cạnh OC nằm trên mặt phẳng (Oyz). Mặt phẳng (Oyz) có vectơ pháp tuyến \(\vec{i}=(1;0;0)\) và đi qua O(0;0;0), nên phương trình là:
\[x = 0\]
Tường chứa cạnh OA nằm trên mặt phẳng (Oxz). Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến \(\vec{j}=(0;1;0)\) và đi qua O(0;0;0), nên phương trình là:
\[y = 0\]
Ta có \(\overrightarrow{AB}=(0;3;0)\), vectơ này song song trục Oy. Mặt phẳng (P) chứa tường AB đi qua A(2;0;0) và nhận \(\vec{i}=(1;0;0)\) làm vectơ pháp tuyến, nên phương trình là:
\[x - 2 = 0\]
Ta có \(\overrightarrow{BC}=(-2;\ 2\sqrt{2}-3;\ 0)\) và \(\vec{k}=(0;0;1)\).
Tính tích có hướng:
\[\left[\overrightarrow{BC},\vec{k}\right] = \left(\left|\begin{array}{cc}2\sqrt{2}-3 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right|;\ \left|\begin{array}{cc}0 & -2\\ 1 & 0\end{array}\right|;\ \left|\begin{array}{cc}-2 & 2\sqrt{2}-3\\ 0 & 0\end{array}\right|\right) = \left(2\sqrt{2}-3;\ 2;\ 0\right)\]
Mặt phẳng (Q) chứa tường BC đi qua \(C\left(0;\ 2\sqrt{2};\ 0\right)\) và nhận \(\vec{n}=(2\sqrt{2}-3;\ 2;\ 0)\) làm vectơ pháp tuyến, nên phương trình là:
\[(2\sqrt{2}-3)(x-0)+2(y-2\sqrt{2})=0\]
\[(2\sqrt{2}-3)x + 2y - 4\sqrt{2} = 0\]
b) Bốn vectơ pháp tuyến lần lượt là:
- (Oyz): \(\vec{n_1}=(1;0;0)\)
- (Oxz): \(\vec{n_2}=(0;1;0)\)
- (P): \(\vec{n_3}=(1;0;0)\)
- (Q): \(\vec{n_4}=(2\sqrt{2}-3;\ 2;\ 0)\)
Kiểm tra từng cặp:
(Oyz) và (Oxz): \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0=0\) → vuông góc.
(Oxz) và (P): \(\vec{n_2}\cdot\vec{n_3}=0\cdot1+1\cdot0+0\cdot0=0\) → vuông góc.
(Oyz) và (P): \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_3}=1\cdot1+0\cdot0+0\cdot0=1\neq0\) → không vuông góc (hai mặt phẳng song song nhau).
(Oyz) và (Q): \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_4}=1\cdot(2\sqrt{2}-3)+0\cdot2+0\cdot0=2\sqrt{2}-3\neq0\) → không vuông góc.
(Oxz) và (Q): \(\vec{n_2}\cdot\vec{n_4}=0\cdot(2\sqrt{2}-3)+1\cdot2+0\cdot0=2\neq0\) → không vuông góc.
(P) và (Q): \(\vec{n_3}\cdot\vec{n_4}=1\cdot(2\sqrt{2}-3)+0\cdot2+0\cdot0=2\sqrt{2}-3\neq0\) → không vuông góc.
Kết quả: Các cặp mặt phẳng vuông góc với nhau là (Oxz) và (Oyz); (Oxz) và (P).