Tính phương sai, độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên từ bảng tần số ghép nhóm
Problem:
Bảng tần số sau đây là dữ liệu thu được trên một lớp học. Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên chiều dài gang tay của học sinh nam và học sinh nữ. So sánh mức độ phân tán giữa hai nhóm.
Số trung bình chiều dài gang tay học sinh nam:
\[\overline{x_1} = \frac{18{,}5 \cdot 1 + 19{,}5 \cdot 4 + 20{,}5 \cdot 8 + 21{,}5 \cdot 6 + 22{,}5 \cdot 3 + 23{,}5 \cdot 2}{1 + 4 + 8 + 6 + 3 + 2} = 21 \text{ (cm)}\]
Số trung bình chiều dài gang tay học sinh nữ:
\[\overline{x_2} = \frac{16{,}5 \cdot 3 + 17{,}5 \cdot 6 + 18{,}5 \cdot 17 + 19{,}5 \cdot 14 + 20{,}5 \cdot 2 + 21{,}5 \cdot 1}{3 + 6 + 17 + 14 + 2 + 1} = \frac{1609}{86} \text{ (cm)}\]
b) Phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên
Nhóm học sinh nam (\(n = 24\)):
Phương sai:
\[s_1^2 = \frac{1}{24}\left(1 \cdot 18{,}5^2 + 4 \cdot 19{,}5^2 + 8 \cdot 20{,}5^2 + 6 \cdot 21{,}5^2 + 3 \cdot 22{,}5^2 + 2 \cdot 23{,}5^2\right) - 21^2 = \frac{19}{12}\]
Độ lệch chuẩn:
\[s_1 = \sqrt{\frac{19}{12}} = \frac{\sqrt{57}}{6}\]
Hệ số biến thiên:
\[cv_1 = \frac{s_1}{\overline{x_1}} = \frac{\dfrac{\sqrt{57}}{6}}{21} \approx 0{,}0599\]
Nhóm học sinh nữ (\(n = 43\)):
Phương sai:
\[s_2^2 = \frac{1}{43}\left(16{,}5^2 \cdot 3 + 17{,}5^2 \cdot 6 + 18{,}5^2 \cdot 17 + 19{,}5^2 \cdot 14 + 20{,}5^2 \cdot 2 + 21{,}5^2 \cdot 1\right) - \left(\frac{1609}{86}\right)^2 \approx 1{,}1\]
Độ lệch chuẩn:
\[s_2 = \sqrt{1{,}1} \approx 1{,}05\]
Hệ số biến thiên:
\[cv_2 = \frac{s_2}{\overline{x_2}} = \frac{1{,}05}{\dfrac{1609}{86}} \approx 0{,}0561\]
Vì \(cv_1 \approx 0{,}0599 > cv_2 \approx 0{,}0561\) nên chiều dài gang tay học sinh nam phân tán nhiều hơn chiều dài gang tay học sinh nữ trong lớp.