a) Tính đạo hàm: \(y' = 6x^2 - 6\).
Giải \(y' = 0\): \(6x^2 - 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Cả hai nghiệm đều thuộc \([-1;2]\), nhưng \(x = -1\) là đầu mút nên điểm tới hạn trong khoảng mở là \(x = 1\).
Tính giá trị tại các điểm cần so sánh:
\[y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 3 = -2 + 6 + 3 = 7\]
\[y(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 3 = 2 - 6 + 3 = -1\]
\[y(2) = 2(8) - 12 + 3 = 16 - 12 + 3 = 7\]
So sánh: giá trị lớn nhất là 7, giá trị nhỏ nhất là \(-1\).
\[\max_{[-1;2]} y = y(-1) = y(2) = 7, \quad \min_{[-1;2]} y = y(1) = -1.\]
b) Tính đạo hàm: \(y' = 4x^3 - 6x\).
Giải \(y' = 0\): \(4x^3 - 6x = 0 \Leftrightarrow 2x(2x^2 - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}\).
Trong khoảng mở \((0;3)\), chỉ có \(x = \dfrac{\sqrt{6}}{2}\) thỏa mãn.
Tính giá trị:
\[y(0) = 0 - 0 + 2 = 2\]
\[y\!\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^4 - 3\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 + 2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 = -\frac{1}{4}\]
\[y(3) = 81 - 27 + 2 = 56\]
\[\max_{[0;3]} y = y(3) = 56, \quad \min_{[0;3]} y = y\!\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = -\frac{1}{4}.\]
c) Tính đạo hàm: \(y' = 1 - 2\cos 2x\).
Giải \(y' = 0\): \(\cos 2x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}\,\, (k \in \mathbb{Z})\).
Trong khoảng mở \((0;\pi)\): \(x = \dfrac{\pi}{6}\) và \(x = \dfrac{5\pi}{6}\).
Tính giá trị:
\[y(0) = 0 - \sin 0 = 0\]
\[y\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[y\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6} - \sin\frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[y(\pi) = \pi - \sin 2\pi = \pi\]
So sánh (lưu ý \(\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}524 - 0{,}866 < 0\) và \(\dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}618 + 0{,}866 > \pi \approx 3{,}14\) cần kiểm tra: \(\approx 3{,}484 > \pi\)):
\[\max_{[0;\pi]} y = y\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \min_{[0;\pi]} y = y\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}.\]
d) Tính đạo hàm bằng quy tắc tích:
\[y' = (2x-1)e^x + (x^2 - x)e^x = e^x(x^2 + x - 1).\]
Vì \(e^x > 0\) với mọi \(x\), nên \(y' = 0 \Leftrightarrow x^2 + x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\).
Trong khoảng mở \((0;1)\): chỉ có \(x = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0{,}618\) thỏa mãn.
Tính giá trị:
\[y(0) = (0 - 0)e^0 = 0\]
\[y(1) = (1 - 1)e^1 = 0\]
\[y\!\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right) = \left(\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\]
Tính \(\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} = \dfrac{6-2\sqrt{5}}{4} - \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} = \dfrac{6-2\sqrt{5} - 2(-1+\sqrt{5})}{4} = \dfrac{8 - 4\sqrt{5}}{4} = 2 - \sqrt{5}\).
Vậy \(y\!\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right) = (2-\sqrt{5})\,e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} < 0\) (vì \(2 - \sqrt{5} < 0\)).
\[\max_{[0;1]} y = y(0) = y(1) = 0, \quad \min_{[0;1]} y = y\!\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right) = (2-\sqrt{5})\,e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}.\]
