a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{5}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ - 4}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = 2\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{{ - 4}}{3};2} \right)\).
b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1; - 3;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC} \left( {3; - 1;3} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( { - 1} \right).3 + \left( { - 3} \right)\left( { - 1} \right) + 0.3 = 0\) nên \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \). Do đó, \(\widehat {BAC} = {90^o}\).
c) Ta có: \(BA = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \); \(AC = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {19} \).
Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BA}} = \frac{{\sqrt {19} }}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \widehat {ABC} \approx {54^0}\).
