Tính diện tích hình phẳng được tô màu (Hình 4.29)

Từ hình vẽ, hình phẳng được tô màu giới hạn bởi \(y = 5x - x^2\) và \(y = x\) trên đoạn \([0; 4]\). Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S = \int\limits_0^4 \left| (5x - x^2) - x \right| dx = \int\limits_0^4 \left| -x^2 + 4x \right| dx\) Vì \(-x^2 + 4x = x(4 - x) \ge 0\) với mọi \(x \in [0; 4]\) nên \(\left| -x^2 + 4x \right| = -x^2 + 4x\). Do đó: \(S = \int\limits_0^4 (-x^2 + 4x)\,dx = \left(\dfrac{-x^3}{3} + 2x^2\right)\Bigg|_0^4\) \(= \dfrac{-4^3}{3} + 2 \cdot 4^2 - 0 = \dfrac{-64}{3} + 32 = \dfrac{-64 + 96}{3} = \dfrac{32}{3}\) Vậy diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \dfrac{32}{3}\) (đơn vị diện tích).