a) Khi \(x \to 0^+\), ta có \(x > 0\) nên \(|x| = x\) và \(f(0) = |0| = 0\).
\[\mathop{\lim}\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0^+} \frac{|x| - 0}{x} = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1.\]
Khi \(x \to 0^-\), ta có \(x < 0\) nên \(|x| = -x\).
\[\mathop{\lim}\limits_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0^-} \frac{|x| - 0}{x} = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1.\]
Vì \(\mathop{\lim}\limits_{x \to 0^+} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = 1 \neq -1 = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0^-} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}\), hai giới hạn một phía không bằng nhau nên giới hạn \(\mathop{\lim}\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}\) không tồn tại. Do đó hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\).
b) Hàm số \(y = f(x) = |x|\) xác định và liên tục trên \((-\infty; +\infty)\).
Ta viết lại:
\[f(x) = |x| = \begin{cases} -x & \text{khi } x < 0 \\ x & \text{khi } x \geq 0 \end{cases}\]
Với mọi \(h > 0\), xét \(x \in (-h; h) \subset (-\infty; +\infty)\) và \(x \neq 0\).
Khi \(x \neq 0\) thì \(f(x) = |x| > 0 = f(0)\).
Theo định nghĩa cực tiểu, tồn tại \(h > 0\) sao cho \(f(x) > f(0)\) với mọi \(x \in (-h; h)\), \(x \neq 0\). Vậy hàm số \(y = f(x) = |x|\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\), giá trị cực tiểu là \(f(0) = 0\).
