Biểu diễn vectơ MN theo AD và BC trong tứ diện ABCD

Từ điều kiện đã cho: \[\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{MB} = -2\overrightarrow{MA}\] \[\overrightarrow{NC} = 2\overrightarrow{DN} \Rightarrow \overrightarrow{CN} = -2\overrightarrow{DN}\] Viết \(\overrightarrow{MN}\) theo đường M → A → D → N: \[\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} \quad (1)\] Viết \(\overrightarrow{MN}\) theo đường M → B → C → N: \[\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} = -2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{DN} \quad (2)\] Cộng vế theo vế (1) và (2): \[2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} - 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{DN}\] \[2\overrightarrow{MN} = -\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{BC}\] Đổi \(-\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{AM}\). Vì \(\overrightarrow{MB} = -2\overrightarrow{MA}\) nên \(\overrightarrow{MA} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\), suy ra \(-\overrightarrow{MA} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\). Vì \(\overrightarrow{CN} = -2\overrightarrow{DN}\) nên \(\overrightarrow{DN} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}\), suy ra \(-\overrightarrow{DN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DC}\). Thay vào: \[2\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC}\] Dùng quy tắc ba điểm: \[\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{DC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) + \frac{1}{3}(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC})\] Thực hiện tính toán gộp lại: \[2\overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AD}\] Vậy: \[\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\]