Tìm f(4) từ đạo hàm và điều kiện ban đầu

Đề bài:

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((0; +\infty)\). Biết rằng \(f'(x) = 2x + \dfrac{1}{x^2}\) với mọi \(x \in (0; +\infty)\) và \(f(1) = 1\). Tính giá trị \(f(4)\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Biết đạo hàm \(f'(x) = 2x + \dfrac{1}{x^2}\) và điều kiện \(f(1) = 1\), cần tìm \(f(4)\).

Kiến thức cần dùng

Nếu \(F'(x) = f(x)\) thì \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\). Công thức nguyên hàm lũy thừa: \(\int x^\alpha\,dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C\) với \(\alpha \neq -1\). Áp dụng: \(\int x\,dx = \dfrac{x^2}{2} + C\) và \(\int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C\).

Phương pháp giải

Một cách giải. Lấy nguyên hàm hai vế của \(f'(x)\) để tìm dạng tổng quát \(f(x)\) có chứa hằng số \(C\), sau đó thế điều kiện \(f(1) = 1\) để xác định \(C\), rồi tính \(f(4)\).

Ứng dụng thực tế

Nếu biết tốc độ thay đổi của một đại lượng tại mọi thời điểm (chẳng hạn vận tốc của xe) và giá trị của đại lượng đó tại một thời điểm cụ thể, em có thể tính được đại lượng đó tại bất kỳ thời điểm nào khác — đây chính là ý tưởng tương tự bài này.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 11. Nguyên hàm

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...