Tìm vectơ AM trong hình hộp khi M là trung điểm CC'
Problem:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CC'. Vectơ \(\overrightarrow{AM}\) bằng
A. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\).
B. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}\).
C. \(\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}\).
D. \(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\).
Vì M là trung điểm của CC' nên:
\[\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC'}\right)\]
Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D':
- ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\).
- Theo quy tắc hình hộp: \(\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\).
Thay vào:
\[\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\right)\]
\[= \frac{1}{2}\left(2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\right)\]
\[= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}\]
Chọn B.