Khảo sát hàm nồng độ KOH khi pha loãng dung dịch

a) Khối lượng KOH trong cốc sau khi trộn thêm x (ml) từ bình chứa: \[m = 30 \times 100 + 8x = 8x + 3000 \text{ (mg)}\] Thể tích dung dịch trong cốc sau khi trộn: \[V = 30 + x \text{ (ml)}\] Nồng độ KOH trong cốc: \[C(x) = \frac{m}{V} = \frac{8x + 3000}{x + 30} \text{ (mg/ml)}\] b) Khảo sát hàm số \(y = C(x) = \dfrac{8x + 3000}{x + 30}\) với \(x \ge 0\). Tập xác định: \([0; +\infty)\). Tính đạo hàm: \[C'(x) = \frac{8(x+30) - (8x+3000)}{(x+30)^2} = \frac{8x + 240 - 8x - 3000}{(x+30)^2} = \frac{-2760}{(x+30)^2}\] Vì \(-2760 < 0\) và \((x+30)^2 > 0\) với mọi \(x \ge 0\), nên \(C'(x) < 0\) với mọi \(x \ge 0\). Hàm số nghịch biến trên \((0; +\infty)\). Hàm số không có cực trị. Tiệm cận ngang: \[\lim_{x \to +\infty} C(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{8x + 3000}{x + 30} = \lim_{x \to +\infty} \frac{8 + \frac{3000}{x}}{1 + \frac{30}{x}} = 8\] Đồ thị có tiệm cận ngang \(y = 8\) (phần bên phải trục Oy). Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị: Đồ thị đi qua điểm \((0; 100)\) trên trục tung, đi qua các điểm \((200; 20)\) và \(\left(120; \dfrac{132}{5}\right)\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 8\). Phần đồ thị tương ứng với bài toán là phần nằm trên đường \(y = 8\) với \(x \ge 0\). c) Vì \(C'(x) = \dfrac{-2760}{(x+30)^2} < 0\) với mọi \(x \ge 0\), hàm C(x) nghịch biến, tức là nồng độ giảm khi x tăng. Vì \(\lim_{x \to +\infty} C(x) = 8\), đồ thị tiệm cận đường \(y = 8\) nhưng không cắt đường này. Điều đó có nghĩa là C(x) tiếp cận 8 nhưng không bao giờ bằng 8, tức là nồng độ luôn lớn hơn 8 mg/ml với mọi \(x \ge 0\).