Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất với chu vi cho trước

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (cm), với 0 < x < 12. Vì chu vi bằng 24 cm nên: 2(x + chiều rộng) = 24, suy ra chiều rộng bằng 12 - x (cm). Diện tích hình chữ nhật là: \[ S(x) = x(12 - x) = -x^2 + 12x, \quad x \in (0; 12). \] Tính đạo hàm: \[ S'(x) = -2x + 12. \] Giải \( S'(x) = 0 \): \[ -2x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 6 \quad (\text{thoả mãn}). \] Bảng biến thiên của S(x) trên (0; 12): Tại x = 6: \( S(6) = 6 \times (12 - 6) = 6 \times 6 = 36 \) (cm²). Khi x = 6, chiều dài bằng chiều rộng bằng 6 cm, hình chữ nhật trở thành hình vuông cạnh 6 cm. Vậy trong các hình chữ nhật có chu vi 24 cm, hình vuông cạnh 6 cm có diện tích lớn nhất bằng 36 cm².