Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng

a) Trên đoạn \([-1; 1]\), do \(e^x > 0\) và \(x^2 - 1 \leq 0\) nên \(e^x - (x^2 - 1) = e^x - x^2 + 1 > 0\). Diện tích cần tìm: \[S = \int_{-1}^{1} \left(e^x - x^2 + 1\right)dx = \left(e^x - \frac{x^3}{3} + x\right)\Bigg|_{-1}^{1}\] \[= \left(e - \frac{1}{3} + 1\right) - \left(e^{-1} + \frac{1}{3} - 1\right) = e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}.\] b) Trên đoạn \(\left[\dfrac{\pi}{2}; \pi\right]\), vì \(x \geq \dfrac{\pi}{2} > 1 \geq \sin x\) nên \(\sin x - x < 0\). Diện tích cần tìm: \[S = \int_{\pi/2}^{\pi} |\sin x - x|\,dx = -\int_{\pi/2}^{\pi} (\sin x - x)\,dx = \left(\cos x + \frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{\pi/2}^{\pi}\] \[= \left(\cos\pi + \frac{\pi^2}{2}\right) - \left(\cos\frac{\pi}{2} + \frac{\pi^2}{8}\right) = -1 + \frac{\pi^2}{2} - 0 - \frac{\pi^2}{8} = \frac{3\pi^2}{8} - 1.\] c) Trên đoạn \([-\sqrt{3}; \sqrt{3}]\), ta có \(9 - x^2 - 2x^2 = 9 - 3x^2 \geq 9 - 3\cdot 3 = 0\). Diện tích cần tìm: \[S = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (9 - 3x^2)\,dx = \left(9x - x^3\right)\Bigg|_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\] \[= \left(9\sqrt{3} - 3\sqrt{3}\right) - \left(-9\sqrt{3} + 3\sqrt{3}\right) = 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}.\] d) Trên đoạn \([0; 1]\), vì \(\sqrt{x} \geq x^2\) (hai hàm bằng nhau tại \(x = 0\) và \(x = 1\)) nên: \[S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2)\,dx = \left(\frac{2x\sqrt{x}}{3} - \frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.\]