Khảo sát hàm số khoảng cách ảnh trong thấu kính hội tụ

a) Từ \(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f}\), suy ra: \[\dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{p - f}{pf}\] Do đó: \(q = g(p) = \dfrac{pf}{p - f}\), với \(p \in (f; +\infty)\). b) Tính giới hạn thứ nhất: \[\lim_{p \to +\infty} g(p) = \lim_{p \to +\infty} \dfrac{pf}{p - f} = \lim_{p \to +\infty} \dfrac{f}{1 - \dfrac{f}{p}} = \dfrac{f}{1 - 0} = f\] Tính giới hạn thứ hai: Khi \(p \to f^+\), tử số \(pf \to f^2 > 0\), mẫu số \(p - f \to 0^+\), nên: \[\lim_{p \to f^+} g(p) = +\infty\] Ý nghĩa của \(\lim_{p \to +\infty} g(p) = f\): Khi vật đặt càng xa thấu kính (p rất lớn), khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự f. Ý nghĩa của \(\lim_{p \to f^+} g(p) = +\infty\): Khi vật đặt gần tiêu điểm (p tiến về f từ phía lớn hơn), ảnh hiện ra rất xa thấu kính. c) Tính đạo hàm của \(g(p) = \dfrac{pf}{p - f}\): \[g'(p) = \dfrac{f(p - f) - pf \cdot 1}{(p - f)^2} = \dfrac{fp - f^2 - pf}{(p - f)^2} = \dfrac{-f^2}{(p - f)^2}\] Vì \(f > 0\) nên \(-f^2 < 0\) và \((p-f)^2 > 0\) với mọi \(p \in (f; +\infty)\), do đó \(g'(p) < 0\) trên toàn bộ khoảng này. Hàm số nghịch biến trên \((f; +\infty)\). Bảng biến thiên: