Tìm tiệm cận đứng, ngang, xiên của đồ thị hàm phân thức

a) Tìm tiệm cận đứng: Mẫu \(x + 1 = 0\) khi \(x = -1\). Tính giới hạn một phía: \(\lim_{x \to -1^+} \frac{3x-2}{x+1} = -\infty\) \(\lim_{x \to -1^-} \frac{3x-2}{x+1} = +\infty\) Vậy đường thẳng \(x = -1\) là tiệm cận đứng. Tìm tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{3x-2}{x+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 3\) \(\lim_{x \to -\infty} \frac{3x-2}{x+1} = 3\) Vậy đường thẳng \(y = 3\) là tiệm cận ngang. b) Tìm tiệm cận đứng: Mẫu \(2x - 1 = 0\) khi \(x = \frac{1}{2}\). Tính giới hạn một phía: \(\lim_{x \to \left(\frac{1}{2}\right)^+} \frac{x^2+2x-1}{2x-1} = +\infty\) \(\lim_{x \to \left(\frac{1}{2}\right)^-} \frac{x^2+2x-1}{2x-1} = -\infty\) Vậy đường thẳng \(x = \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng. Kiểm tra tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+2x-1}{2x-1} = +\infty\), \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+2x-1}{2x-1} = -\infty\) Giới hạn không hữu hạn, nên đồ thị không có tiệm cận ngang. Tìm tiệm cận xiên: Thực hiện chia đa thức: \(\frac{x^2+2x-1}{2x-1} = \frac{x}{2} + \frac{5}{4} + \frac{1}{4(2x-1)}\) Kiểm tra: \(\lim_{x \to +\infty} \left[y - \left(\frac{x}{2} + \frac{5}{4}\right)\right] = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{4(2x-1)} = 0\) \(\lim_{x \to -\infty} \left[y - \left(\frac{x}{2} + \frac{5}{4}\right)\right] = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{4(2x-1)} = 0\) Vậy đường thẳng \(y = \frac{x}{2} + \frac{5}{4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.