Nhận dạng hàm số từ đồ thị qua tiệm cận và điểm đặc biệt

Quan sát đồ thị Hình 1.38, đồ thị có dạng của hàm số \(y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{px + q}\) với \(a \neq 0\), tức là tử bậc hai, mẫu bậc một, và tử không chia hết cho mẫu. Đáp án B có dạng bậc một chia bậc một — loại B. Đồ thị đi qua điểm \((-2;\ -3)\). Thử đáp án C: \[y = \frac{(-2)^2 - (-2) + 1}{-2 + 1} = \frac{4 + 2 + 1}{-1} = -7 \neq -3.\] Loại C. Đồ thị đi qua điểm \((0;\ 1)\). Thử đáp án A: \[y = 0 - \frac{1}{0 + 1} = -1 \neq 1.\] Loại A. Kiểm tra đáp án D: \(y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}\). Tiệm cận đứng: \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\). \[\lim_{x \to -1^+} \frac{x^2+x+1}{x+1} = +\infty, \quad \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2+x+1}{x+1} = -\infty.\] Đường thẳng \(x = -1\) là tiệm cận đứng. Tiệm cận xiên: tính \(y - x = \dfrac{1}{x+1}\). \[\lim_{x \to +\infty}(y - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x+1} = 0, \quad \lim_{x \to -\infty}(y - x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x+1} = 0.\] Đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên — khớp với đồ thị. Chọn D.