Xác định giao tuyến và chứng minh song song trong tứ diện ABCD
Problem:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và P là một điểm thuộc cạnh AC.
a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD).
b) Chứng minh rằng d song song với BD.
Gọi I là giao điểm của AM và BP. Vì A, M thuộc (AMN) và B, P thuộc (BPD), trong khi AM và BP đều nằm trong mặt phẳng (ABP), nên I thuộc cả (AMN) và (BPD).
Gọi K là giao điểm của AN và DP. Tương tự, vì AN nằm trong (AMN) và DP nằm trong (BPD), cả hai cùng nằm trong mặt phẳng (ADP), nên K cũng thuộc cả (AMN) và (BPD).
I và K là hai điểm chung của (AMN) và (BPD), do đó giao tuyến d chính là đường thẳng IK.
b) Chứng minh d // BD:
Xét mặt phẳng (BCD):
- \(mp(AMN) \cap mp(BCD) = MN\) (vì M, N thuộc (BCD) và đường thẳng MN nằm trong (AMN))
- \(mp(BPD) \cap mp(BCD) = BD\) (vì B, D thuộc cả hai mặt phẳng)
M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD, nên MN là đường trung bình của tam giác BCD. Theo tính chất đường trung bình: \(MN // BD\).
Vì MN và BD đều nằm trong (BCD), MN // BD, và IK là giao tuyến của (AMN) với (BPD) — hai mặt phẳng chứa MN và BD tương ứng — nên theo tính chất song song trong không gian: \(IK // BD\).
Vậy d song song với BD.