Tính khoảng cách từ S đến đáy và thể tích hình chóp S.ABCD

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì (SAC) ⊥ (ABCD) và (SBD) ⊥ (ABCD), hai mặt phẳng này có giao tuyến là đường thẳng SO, nên \(SO \perp (ABCD)\). Vậy SO là khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy. Kẻ \(AK \perp DC\) tại K. Vì ABCD là hình thang cân có \(AB = a\), \(CD = 2a\): \[DK = \frac{CD - AB}{2} = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}\] Tam giác ADK vuông tại K: \[AK = \sqrt{AD^2 - DK^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] Khi đó \(KC = DC - DK = 2a - \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}\). Tam giác AKC vuông tại K: \[AC = \sqrt{AK^2 + KC^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{9a^2}{4}} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\] Vì AB // CD nên \(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2}\), suy ra: \[OA = \frac{1}{3}AC = \frac{a\sqrt{3}}{3}\] Tam giác SAO vuông tại O: \[SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{2a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{5a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{15}}{3}\] Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là \(\dfrac{a\sqrt{15}}{3}\). Diện tích đáy ABCD: \[S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot AK = \frac{1}{2}(a + 2a) \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}\] Thể tích khối chóp S.ABCD: \[V = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{15}}{3} \cdot \frac{3a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^3\sqrt{45}}{12} = \frac{3a^3\sqrt{5}}{12} = \frac{a^3\sqrt{5}}{4}\]