Chứng minh vuông góc trong tứ diện ABCD
Problem:
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại \(A\), tam giác BCD cân tại \(D\). Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh rằng \(BC \bot (AID)\).
b) Kẻ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng \(AH \bot (BCD)\).
c) Kẻ đường cao IJ của tam giác AID. Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.
a) Xét tam giác ABC cân tại A, I là trung điểm BC.
Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh của tam giác cân đồng thời là đường cao, nên \(AI \bot BC\).
Xét tam giác BCD cân tại D, I là trung điểm BC.
Tương tự, đường trung tuyến DI vuông góc với BC, nên \(DI \bot BC\).
Do \(AI \bot BC\) và \(DI \bot BC\), mà AI và DI là hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng (AID), suy ra:
\[BC \bot (AID)\]
b) Vì \(BC \bot (AID)\) và \(BC \subset (BCD)\), nên \((BCD) \bot (AID)\).
Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng DI:
\[(BCD) \cap (AID) = DI\]
Trong mặt phẳng (AID), AH là đường cao của tam giác AID kẻ từ A xuống DI, nên \(AH \bot DI\).
Theo định lý: hai mặt phẳng vuông góc nhau, đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia, suy ra:
\[AH \bot (BCD)\]
c) Vì \(BC \bot (AID)\) và \(IJ \subset (AID)\), suy ra \(BC \bot IJ\).
Vì IJ là đường cao của tam giác AID kẻ từ I, nên \(IJ \bot AD\).
Do IJ vuông góc với cả BC lẫn AD, mà BC và AD là hai đường thẳng chéo nhau trong tứ diện, nên IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.