Chứng minh ABNM.A'B'N'M' là hình hộp

Vì (ABB'A') // (MNN'M'), mặt phẳng (ABCD) cắt hai mặt phẳng này theo hai giao tuyến AB và MN, nên AB // MN. (1) Tương tự: - Mặt phẳng (A'B'C'D') cắt (ABB'A') và (MNN'M') theo A'B' và M'N', nên M'N' // A'B'. - Mặt phẳng (BB'C'C) cắt (ABB'A') và (MNN'M') theo BB' và NN', nên NN' // BB'. - Mặt phẳng (AA'D'D) cắt (ABB'A') và (MNN'M') theo AA' và MM', nên MM' // AA'. Do AA' // BB' (cạnh bên hình hộp), suy ra bốn đường thẳng AA', BB', MM', NN' đôi một song song với nhau. (2) Từ (1) và (2), ABNM.A'B'N'M' là hình lăng trụ. Xét tứ giác ABNM: AB // MN (đã chứng minh ở trên). Trong hình hộp, AD // BC nên AM // BN. Vậy ABNM là hình bình hành. Xét tứ giác A'B'N'M': A'B' // M'N' (đã chứng minh). Trong hình hộp, A'D' // B'C' nên A'M' // B'N'. Vậy A'B'N'M' là hình bình hành. Hình lăng trụ ABNM.A'B'N'M' có hai đáy đều là hình bình hành, nên theo định nghĩa, ABNM.A'B'N'M' là hình hộp.