Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc và tính khoảng cách trong hình chóp S.ABC

a) Vì \(SA \perp (ABC)\) nên \(SA \perp BC\). Tam giác ABC vuông tại B nên \(AB \perp BC\). Do SA và AB cùng nằm trong mặt phẳng (SAB) và cắt nhau tại A, mà BC vuông góc với cả hai đường thẳng đó, suy ra \(BC \perp (SAB)\). Vì \(BC \subset (SBC)\) nên \((SBC) \perp (SAB)\). (đpcm) b) Tính d(A, SC): Trong tam giác SAC, kẻ \(AD \perp SC\) với D thuộc SC. Khi đó \(d(A, SC) = AD\). Trong tam giác ABC vuông tại B: \[\sin\widehat{CAB} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow AC = \frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{a}{\frac{1}{2}} = 2a.\] Tam giác SAC vuông tại A (vì \(SA \perp (ABC)\) nên \(SA \perp AC\)), áp dụng công thức đường cao: \[\frac{1}{AD^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{(a\sqrt{2})^2} + \frac{1}{(2a)^2} = \frac{1}{2a^2} + \frac{1}{4a^2} = \frac{3}{4a^2}.\] \[\Rightarrow AD^2 = \frac{4a^2}{3} \Rightarrow AD = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}.\] Vậy \(d(A, SC) = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\). Tính d(A, (SBC)): Từ câu a: \((SAB) \perp (SBC)\), giao tuyến của hai mặt phẳng là SB. Trong tam giác ABC vuông tại B: \[\tan\widehat{CAB} = \frac{BC}{AB} \Rightarrow AB = \frac{a}{\tan 30^\circ} = \frac{a}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = a\sqrt{3}.\] Trong tam giác SAB, kẻ \(AE \perp SB\) với E thuộc SB. Tam giác SAB vuông tại A (vì \(SA \perp AB\)), áp dụng công thức đường cao: \[\frac{1}{AE^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{(a\sqrt{2})^2} + \frac{1}{(a\sqrt{3})^2} = \frac{1}{2a^2} + \frac{1}{3a^2} = \frac{5}{6a^2}.\] \[\Rightarrow AE^2 = \frac{6a^2}{5} \Rightarrow AE = \frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{30}}{5}.\] Vì AE nằm trong (SAB), AE ⊥ SB và SB là giao tuyến của (SAB) với (SBC), theo định lý hai mặt phẳng vuông góc, \(AE \perp (SBC)\). Vậy \(d\left(A, (SBC)\right) = AE = \dfrac{a\sqrt{30}}{5}\).