Viết phương trình tiếp tuyến của parabol theo điều kiện tiếp điểm

Tính đạo hàm của \(f(x) = -x^2 + 4x\) tại \(x_0\) bất kì: \[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\] \[= \lim_{x \to x_0} \frac{-x^2 + 4x + x_0^2 - 4x_0}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{-(x^2 - x_0^2) + 4(x - x_0)}{x - x_0}\] \[= \lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)(-x - x_0 + 4)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} (-x - x_0 + 4) = -2x_0 + 4\] Vậy \(y' = -2x + 4\). a) Với \(x_0 = 1\): \(f'(1) = -2 \cdot 1 + 4 = 2\) \(f(1) = -1 + 4 = 3\) Phương trình tiếp tuyến: \[y - 3 = 2(x - 1) \Leftrightarrow y = 2x + 1\] b) Tiếp điểm có tung độ \(y_0 = 0\) nên: \[-x_0^2 + 4x_0 = 0 \Leftrightarrow x_0(-x_0 + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_0 = 0 \\ x_0 = 4 \end{array}\right.\] Trường hợp \(x_0 = 0,\ y_0 = 0\): \(f'(0) = 4\) Phương trình tiếp tuyến: \(y = 4x\). Trường hợp \(x_0 = 4,\ y_0 = 0\): \(f'(4) = -2 \cdot 4 + 4 = -4\) Phương trình tiếp tuyến: \[y - 0 = -4(x - 4) \Leftrightarrow y = -4x + 16\]