Chứng minh vuông góc và tính góc nhị diện trong hình chóp S.ABC
Problem:
Cho hình chóp S.ABC có SA \( \bot \) (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC.
a) Chứng minh rằng (SAB) \( \bot \) (ABC) và (SAH) \( \bot \) (SBC).
b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat{ABC} = 30^\circ\), \(AC = a\), \(SA = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Tính số đo góc nhị diện [S, BC, A].
a) Vì SA ⊥ (ABC) và SA ⊂ (SAB) nên (SAB) ⊥ (ABC).
H là hình chiếu của A lên BC nên AH ⊥ BC.
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC.
Ta có AH ⊥ BC, SA ⊥ BC và AH ∩ SA = {A} trong mặt phẳng (SAH), suy ra BC ⊥ (SAH).
Vì BC ⊂ (SBC) nên (SAH) ⊥ (SBC).
b) Từ câu a, BC ⊥ (SAH) nên BC ⊥ SH và BC ⊥ AH.
Do đó góc nhị diện [S, BC, A] = \(\widehat{SHA}\).
Xét tam giác ABC vuông tại A:
\[\widehat{ABC} = 30^\circ \Rightarrow \widehat{ACB} = 60^\circ\]
Xét tam giác ACH vuông tại H:
\[\sin\widehat{ACH} = \frac{AH}{AC} \Rightarrow AH = a\sin 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Xét tam giác SHA vuông tại A:
\[\tan\widehat{SHA} = \frac{SA}{AH} = \frac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}} = 1 \Rightarrow \widehat{SHA} = 45^\circ\]
Vậy góc nhị diện [S, BC, A] = \(45^\circ\).