Tính thể tích khối lăng trụ đều ABC.A'B'C'

Vì A'A = A'B = A'C và đáy ABC là tam giác đều nên hình chóp A'.ABC là hình chóp đều. Gọi F là hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABC). Khi đó F là trọng tâm của tam giác đều ABC. Gọi D là trung điểm BC, suy ra AD là đường trung tuyến của tam giác ABC. Tam giác ABC đều cạnh a nên: \[AD = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] F là trọng tâm nên: \[AF = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\] Xét tam giác A'AF vuông tại F: \[A'F = \sqrt{A'A^2 - AF^2} = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}\] Diện tích đáy tam giác đều ABC: \[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] Thể tích khối lăng trụ: \[V = A'F \cdot S = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]