Tính thể tích lăng trụ và khối chóp từ hình chóp đều

Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì \(A'.ABCD\) là hình chóp đều nên \(A'O \perp (ABCD)\). Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\): \[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\] \[OA = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] Xét tam giác \(A'AO\) vuông tại \(O\): \[A'O = \sqrt{A'A^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] Diện tích đáy: \(S_{ABCD} = a^2\). Thể tích hình chóp \(A'.ABCD\): \[V_{chóp} = \frac{1}{3} \cdot A'O \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a^2 = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}\] Thể tích khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) bằng 3 lần thể tích hình chóp \(A'.ABCD\) (lăng trụ tứ giác chia được thành 3 hình chóp có thể tích bằng nhau): \[V_{lăng\ trụ} = 3 \cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{6} = \frac{a^3\sqrt{2}}{2}\] Thể tích khối chóp \(A'.BB'C'C\): Xét lăng trụ \(AA'D'D.BB'C'C\) (đây là cách đặt tên lại của lăng trụ ban đầu, thể tích không đổi). Khối chóp \(A'.BB'C'C\) có đáy là hình thang \(BB'C'C\) và đỉnh là \(A'\), chung đáy và chiều cao với lăng trụ \(AA'D'D.BB'C'C\), nên: \[V_{A'.BB'C'C} = \frac{1}{3} V_{lăng\ trụ\ AA'D'D.BB'C'C} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}\]