Bài 7.12 trang 42 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức

a) Trong (SAB) kẻ \(AD \bot SB\) tại D.

Vì \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BC\).

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\\AB,SA \subset (SAB)\\AB \cap SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AD\).

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot BC\\AD \bot SB\\BC,SB \subset (SBC)\\BC \cap SB\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (SBC)\).

Suy ra D là hình chiếu của A trên (SBC).

b) A là hình chiếu của S trên (ABC) \(\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\).

C là hình chiếu của C trên (ABC).

\( \Rightarrow \) AC là hình chiếu của SC trên (ABC).

\( \Rightarrow \) \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \)

\(\Rightarrow \widehat {SCA} = \arctan \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Vậy \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \arctan \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).