Tính thể tích khối chóp đều S.ABC và khối tứ diện đều

Gọi G là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Vì S.ABC là chóp đều, G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Gọi D là trung điểm BC. Tam giác ABC đều cạnh \(a\) nên đường trung tuyến: \[AD = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] G là trọng tâm nên: \[AG = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\] Xét tam giác SAG vuông tại G, áp dụng định lý Pythagore: \[SG = \sqrt{SA^2 - AG^2} = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}\] Diện tích đáy tam giác đều ABC: \[S_{\triangle ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] Thể tích khối chóp đều S.ABC: \[V = \frac{1}{3} \cdot SG \cdot S_{\triangle ABC} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{12}\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}\] Với khối tứ diện đều cạnh \(a\), tất cả các cạnh bằng nhau nên \(b = a\). Thay vào: \[V = \frac{a^2\sqrt{3}}{12}\sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{12}\sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{12} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\]