Chứng minh bất đẳng thức đạo hàm hàm lượng giác

Problem:

Cho hàm số \(f(x) = 2\sin^2\!\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)\). Chứng minh rằng \(|f'(x)| \le 6\) với mọi \(x\).

Problem Analysis

Problem Summary

Cho trước hàm \(f(x) = 2\sin^2\!\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)\), cần tính \(f'(x)\) rồi chứng minh \(|f'(x)| \le 6\) với mọi \(x\).

Required Knowledge

Quy tắc đạo hàm hàm hợp: \((u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'\) và \((\sin u)' = u' \cdot \cos u\). Công thức nhân đôi: \(2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha\). Tính chất \(-1 \le \sin t \le 1\) với mọi \(t\).

Solution Method

Một cách. Tính \(f'(x)\) bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp, rút gọn biểu thức bằng công thức nhân đôi để đưa về dạng \(6\sin(\ldots)\), sau đó dùng bất đẳng thức \(|\sin t| \le 1\) để kết luận.

Real-world Application

Trong kỹ thuật âm thanh, biên độ dao động của sóng âm luôn bị giới hạn bởi một giá trị cực đại — tương tự như việc \(f'(x)\) bị chặn bởi 6 ở đây. Em có thể liên hệ: nếu tốc độ thay đổi âm lượng của một loa được mô tả bởi \(f'(x)\), thì giá trị tuyệt đối của nó không vượt quá ngưỡng 6 đơn vị, giúp loa không bị méo tiếng.

Chứng minh bất đẳng thức đạo hàm hàm lượng giác

Problem:

Problem Analysis

Hints (0/3)

Detailed solution

Exercises in this lesson— Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm

Feedback

Related exercises