Tính thể tích và khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau trong hình chóp S.ABCD

Vẽ hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD vuông cân tại S. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Trong mặt phẳng (SAD), kẻ SE ⊥ AD. Vì (SAD) ⊥ (ABCD) và (SAD) ∩ (ABCD) = AD, nên SE ⊥ (ABCD). Tam giác SAD vuông cân tại S có SE ⊥ AD, nên E là trung điểm AD, do đó: \[ SE = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2} \] Diện tích đáy hình vuông ABCD: \[ S_{ABCD} = a^2 \] Thể tích khối chóp: \[ V = \frac{1}{3} \cdot SE \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a}{2} \cdot a^2 = \frac{a^3}{6} \] b) Tính khoảng cách giữa AD và SC. Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ EF // AB, với F nằm trên BC. Vì ABCD là hình vuông nên AB ⊥ BC, suy ra EF ⊥ BC. Ta có SE ⊥ (ABCD) nên SE ⊥ BC. Kết hợp với EF ⊥ BC và SE, EF cùng thuộc mặt phẳng (SEF), suy ra BC ⊥ (SEF). Vì BC ⊂ (SBC) nên (SEF) ⊥ (SBC). Giao tuyến của hai mặt phẳng này là SF. Kẻ EG ⊥ SF trong mặt phẳng (SEF). Khi đó EG ⊥ (SBC). Vì ABCD là hình vuông, AD // BC nên AD // (SBC), do đó: \[ d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(E, (SBC)) = EG \] Vì EF // AB nên EF = AB = a. Tam giác SEF vuông tại E có: \[ \frac{1}{EG^2} = \frac{1}{SE^2} + \frac{1}{EF^2} = \frac{1}{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{5}{a^2} \] \[ \Rightarrow EG = \frac{a}{\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{5}}{5} \] Vậy \( d(AD, SC) = \dfrac{a\sqrt{5}}{5} \).