Chứng minh giới hạn của dãy độ cao quả bóng nảy bằng 0

Độ cao quả bóng sau lần nảy thứ nhất: \(u_1 = 5 \cdot \dfrac{2}{3}\) (m). Độ cao quả bóng sau lần nảy thứ hai: \(u_2 = 5 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2\) (m). Tương tự, độ cao quả bóng sau lần nảy thứ \(n\): \[u_n = 5 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \text{ (m).}\] Dãy \(\left(u_n\right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = \dfrac{10}{3}\) và công bội \(q = \dfrac{2}{3}\). Vì \(|q| = \dfrac{2}{3} < 1\) nên \(\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 0\). Do đó: \[\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} 5 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 5 \cdot 0 = 0.\] Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) có giới hạn bằng 0.