Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) trong tứ diện OABC

Vì \(OA \perp OB\) và \(OA \perp OC\), nên \(OA \perp (OBC)\). Do \(BC \subset (OBC)\) nên \(OA \perp BC\). Trong tam giác OBC vuông tại O, kẻ \(OD \perp BC\). Áp dụng công thức đường cao: \[\frac{1}{OD^2} = \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2} = \frac{1}{(a\sqrt{2})^2} + \frac{1}{(2a)^2} = \frac{1}{2a^2} + \frac{1}{4a^2} = \frac{3}{4a^2}\] \[\Rightarrow OD = \frac{2a\sqrt{3}}{3}\] Ta có \(BC \perp OA\) và \(BC \perp OD\), mà OA và OD cùng thuộc mặt phẳng (OAD) và cắt nhau tại O, nên \(BC \perp (OAD)\). Vì \(BC \subset (ABC)\) và \(BC \perp (OAD)\), suy ra \((OAD) \perp (ABC)\), với giao tuyến là \(AD\). Trong tam giác OAD vuông tại O, kẻ \(OE \perp AD\). Theo định lý hai mặt phẳng vuông góc, \(OE \perp (ABC)\). Áp dụng công thức đường cao trong tam giác OAD: \[\frac{1}{OE^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OD^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{3}{4a^2} = \frac{4}{4a^2} + \frac{3}{4a^2} = \frac{7}{4a^2}\] \[\Rightarrow OE = \frac{2a\sqrt{7}}{7}\] Vậy \(d\left(O,\,(ABC)\right) = \dfrac{2a\sqrt{7}}{7}\).