Chọn hệ trục tọa độ có gốc đặt tại vị trí khẩu pháo, trục $Ox$ theo hướng bắn. Quỹ đạo của quả đạn pháo là đường parabol có phương trình:
$$y = -\frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}\, x^2 + x\tan\alpha$$
Cho $y = 0$ để tìm điểm đạn chạm đất:
$$-\frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}\, x^2 + x\tan\alpha = 0$$
$$x\left(-\frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}\, x + \tan\alpha\right) = 0$$
Suy ra $x = 0$ (vị trí bắn) hoặc $x = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$ (vị trí chạm đất).
Vậy tầm xa của đạn là $L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$.
Vì $v_0$ và $g$ không đổi, $L$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin 2\alpha$ đạt giá trị lớn nhất. Mà $\sin 2\alpha \leq 1$, nên $L_{\max} = \dfrac{v_0^2}{g}$, đạt được khi $\sin 2\alpha = 1$.
Giải phương trình $\sin 2\alpha = 1$:
$$2\alpha = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$
$$\alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$
Trong thực tế, góc bắn $\alpha$ thỏa mãn $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$, nên $\alpha = \dfrac{\pi}{4}$ (tức $45°$).
Kết luận: Góc bắn $\alpha = 45°$ cho tầm xa lớn nhất.
