Chứng minh vuông góc và tính đường chéo hình hộp chữ nhật
Problem:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.
a) Chứng minh rằng (BDD'B') \( \perp \) (ABCD).
b) Xác định hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABCD).
c) Cho AB = a, BC = b, CC' = c. Tính AC'.
a) Trong hình hộp chữ nhật, cạnh bên BB' vuông góc với mặt đáy nên \(BB' \perp (ABCD)\).
Vì \(BB' \subset (BDD'B')\) và \(BB' \perp (ABCD)\), theo định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc, suy ra \((BDD'B') \perp (ABCD)\).
b) A nằm trên (ABCD) nên hình chiếu của A lên (ABCD) chính là A.
Vì \(CC' \perp (ABCD)\), hình chiếu của C' lên (ABCD) là C.
Do đó hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABCD) là đoạn thẳng AC.
c) Xét tam giác ABC vuông tại B:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + b^2\]
Vì \(CC' \perp (ABCD)\) nên \(CC' \perp AC\). Xét tam giác ACC' vuông tại C:
\[AC'^2 = CC'^2 + AC^2 = c^2 + a^2 + b^2\]
Vậy \(AC' = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\).