Ước lượng số đặc trưng từ mẫu số liệu ghép nhóm
Problem:
Một cửa hàng ghi lại số tiền bán xăng cho 35 khách hàng đi xe máy. Mẫu số liệu gốc có dạng \( x_1, x_2, \ldots, x_{35} \) trong đó \( x_i \) là số tiền bán xăng cho khách hàng thứ \( i \). Vì một lý do nào đó, cửa hàng chỉ còn mẫu số liệu ghép nhóm:
Dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này, làm thế nào để ước lượng các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu gốc?
Dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này, làm thế nào để ước lượng các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu gốc?
Tổng số khách hàng \( n = 35 \). Số tiền trung bình:
\[ \bar{x} = \frac{3 \cdot 15 + 15 \cdot 45 + 10 \cdot 75 + 7 \cdot 105}{35} = 63 \text{ (nghìn đồng)} \]
Số trung bình của mẫu gốc khoảng 63 nghìn đồng.
Trung vị và tứ phân vị:
Cỡ mẫu \( n = 35 \). Gọi \( x_1, x_2, \ldots, x_{35} \) là dãy số tiền đã sắp xếp tăng dần.
Trung vị là \( x_{18} \). Tần số tích lũy: nhóm [0; 30) có 3 giá trị, nhóm [30; 60) có thêm 15 giá trị (tích lũy đến 18). Vậy \( x_{18} \) thuộc nhóm [30; 60). Với \( a_2 = 30 \), \( m_2 = 15 \), \( m_1 = 3 \), độ rộng nhóm = 30:
\[ M_e = 30 + \frac{\dfrac{35}{2} - 3}{15} \cdot 30 = 59 \]
Tứ phân vị thứ nhất \( Q_1 \) là \( x_9 \). Vì \( x_9 \) cũng thuộc nhóm [30; 60) (tích lũy trước nhóm này là 3, tích lũy đến hết nhóm là 18):
\[ Q_1 = 30 + \frac{\dfrac{35}{4} - 3}{15} \cdot 30 = 41{,}5 \]
Tứ phân vị thứ ba \( Q_3 \) là \( x_{27} \). Tích lũy qua nhóm [0;30) và [30;60) là \( 3 + 15 = 18 \), nhóm [60;90) có thêm 10 giá trị (tích lũy đến 28). Vậy \( x_{27} \) thuộc nhóm [60; 90). Với \( a_3 = 60 \), \( m_3 = 10 \), tổng tần số các nhóm trước = 18, độ rộng = 30:
\[ Q_3 = 60 + \frac{\dfrac{3 \cdot 35}{4} - 18}{10} \cdot 30 = 84{,}75 \]
Tứ phân vị thứ hai \( Q_2 = M_e = 59 \).
Trung vị của mẫu gốc khoảng 59 nghìn đồng. Các tứ phân vị khoảng 41,5 — 59 — 84,75 (nghìn đồng).
Mốt:
Tần số lớn nhất là 15, thuộc nhóm [30; 60). Với \( a_2 = 30 \), \( m_2 = 15 \), \( m_1 = 3 \) (nhóm trước), \( m_3 = 10 \) (nhóm sau), \( h = 30 \):
\[ M_o = 30 + \frac{15 - 3}{(15 - 3) + (15 - 10)} \cdot 30 \approx 51{,}18 \]
Mốt của mẫu gốc xấp xỉ 51,18 nghìn đồng.