Hàm số \(y = \dfrac{a}{x}\) có đạo hàm \(y' = -\dfrac{a}{x^2}\).
Lấy điểm bất kì trên hypebol có hoành độ \(x_0 \neq 0\), toạ độ điểm đó là \(\left(x_0;\, \dfrac{a}{x_0}\right)\).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm này:
\[y - \frac{a}{x_0} = -\frac{a}{x_0^2}(x - x_0)\]
\[y = -\frac{a}{x_0^2}x + \frac{a}{x_0} + \frac{a}{x_0} = -\frac{a}{x_0^2}x + \frac{2a}{x_0}.\]
Tìm giao điểm của tiếp tuyến với hai trục toạ độ:
- Cho \(x = 0\): \(y = \dfrac{2a}{x_0}\), suy ra \(A\!\left(0;\, \dfrac{2a}{x_0}\right)\).
- Cho \(y = 0\): \(0 = -\dfrac{a}{x_0^2}x + \dfrac{2a}{x_0} \Rightarrow x = 2x_0\), suy ra \(B\left(2x_0;\, 0\right)\).
Diện tích tam giác \(OAB\):
\[S = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| = \frac{1}{2} \cdot \left|\frac{2a}{x_0}\right| \cdot |2x_0| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{|x_0|} \cdot 2|x_0| = 2a.\]
Vì \(a\) là hằng số dương, \(S = 2a\) không phụ thuộc vào \(x_0\). Vậy tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi bằng \(2a\).
