Tính đạo hàm cấp hai của hàm phân thức tại một điểm

Tính \(f'(x)\): \[f'(x) = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)' = \frac{(x+1)'(x-1) - (x+1)(x-1)'}{(x-1)^2}\] \[= \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x - 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}\] Tính \(f''(x)\): \[f''(x) = \left[\frac{-2}{(x-1)^2}\right]' = \frac{(-2)'(x-1)^2 - (-2)\left[(x-1)^2\right]'}{\left[(x-1)^2\right]^2}\] \[= \frac{0 - (-2) \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{4(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{4}{(x-1)^3}\] Thay \(x = 0\): \[f''(0) = \frac{4}{(0-1)^3} = \frac{4}{-1} = -4\]