Tính các giá trị lượng giác khi biết một giá trị lượng giác

a) Vì \(0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}\) nên \(\alpha\) ở góc phần tư I, do đó \(\sin\alpha > 0\). Từ \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\): \[\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}\] \[\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}}{\dfrac{1}{5}} = 2\sqrt{6}\] \[\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}\] b) Vì \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) nên \(\alpha\) ở góc phần tư II, do đó \(\cos\alpha < 0\). Từ \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\): \[\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}\] \[\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\dfrac{2}{3}}{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\] \[\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{\dfrac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}\] c) Vì \(\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}\) nên \(\alpha\) ở góc phần tư III, do đó \(\sin\alpha < 0\) và \(\cos\alpha < 0\). \(\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\) Từ \(\tan^2\alpha + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}\): \[\cos^2\alpha = \frac{1}{\tan^2\alpha + 1} = \frac{1}{5 + 1} = \frac{1}{6}\] Vì \(\cos\alpha < 0\) nên \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{6}}\). \[\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = \sqrt{5} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) = -\sqrt{\frac{5}{6}}\] d) Vì \(\dfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\) nên \(\alpha\) ở góc phần tư IV, do đó \(\sin\alpha < 0\) và \(\cos\alpha > 0\). \(\tan\alpha = \dfrac{1}{\cot\alpha} = \dfrac{1}{-\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = -\sqrt{2}\) Từ \(\cot^2\alpha + 1 = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}\): \[\sin^2\alpha = \frac{1}{\cot^2\alpha + 1} = \frac{1}{\dfrac{1}{2} + 1} = \frac{1}{\dfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}\] Vì \(\sin\alpha < 0\) nên \(\sin\alpha = -\sqrt{\dfrac{2}{3}}\). \[\cos\alpha = \cot\alpha \cdot \sin\alpha = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]