Chứng minh tính chất số hạng trong cấp số cộng và cấp số nhân

a) Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \[u_{k-1} = u_1 + (k-2)d\] \[u_k = u_1 + (k-1)d\] \[u_{k+1} = u_1 + kd\] Tính tổng hai số hạng kề: \[u_{k-1} + u_{k+1} = [u_1 + (k-2)d] + [u_1 + kd] = 2u_1 + (2k-2)d = 2[u_1 + (k-1)d] = 2u_k\] Suy ra: \[u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2} \quad (\text{đpcm}).\] b) Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \[u_{k-1} = u_1 \cdot q^{k-2}\] \[u_k = u_1 \cdot q^{k-1}\] \[u_{k+1} = u_1 \cdot q^k\] Tính tích hai số hạng kề: \[u_{k-1} \cdot u_{k+1} = (u_1 \cdot q^{k-2}) \cdot (u_1 \cdot q^k) = u_1^2 \cdot q^{(k-2)+k} = u_1^2 \cdot q^{2(k-1)} = (u_1 \cdot q^{k-1})^2 = u_k^2\] Suy ra: \[u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1} \quad (\text{đpcm}).\]